N90200 Analisi Matematica

Nella prima parte del corso l'impostazione didattica si avvierà con l'opportuno richiamo delle nozioni preliminari per evidenziare i principali strumenti di calcolo e procurare così, con l'armonizzazioni delle diverse preparazioni, la dovuta familiarità con tali procedimenti, indispensabili come conoscenze di base. Successivamente il corso comporterà la presentazione dei classici strumenti del calcolo infinitesimale e differenziale, del calcolo integrale, del calcolo matriciale, dello studio delle funzioni di più variabili e delle equazioni differenziali proponendo, ove possibile, l'utilizzo che ne potrà essere fatto in altre discipline. 

 1.  ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI.
Insiemi, sottoinsiemi, le operazioni di unione ed intersezione. I quantificatori  ", $.
Gli insiemi numerici N, Z, Q, R. Il simbolo di sommatoria. Fattoriale di n. Permutazioni.
Insiemi in R ed in R*: nozioni di minorante e maggiorante, di estremo inferiore e superiore, di minimo e di massimo.

2.  NUMERI COMPLESSI.
Definizione dell’insieme dei numeri complessi e struttura di campo;  forma algebrica, , coniugato e  modulo; forma trigonometrica e forma esponenziale;
teoremi di De Moivre ( prodotto, potenza e quoziente dei numeri complessi)
radici n-esime
teorema fondamentale dell’algebra.

3. SUCCESSIONI E SERIE.
Definizione di successione. Definizione di limite: successioni convergenti, divergenti, irregolari. Teorema dell’unicità del limite. Successioni monotone.
Calcolo di limiti. Teorema della permanenza del segno, teorema del confronto.
Il numero “e”. Infinitesimi ed infiniti, loro confronto. Successioni asintotiche.
Serie numeriche: definizione e carattere di una serie mediante la successione delle somme parziali; serie geometrica ed armonica. Condizione necessaria di convergenza. Serie a termini non negativi: criterio del confronto e del confronto asintotico; criterio del rapporto.
La serie  armonica generalizzata.Convergenza assoluta . Serie a termini di segno alternato.

4 . FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE.
Concetto di funzione e suo grafico. Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche.
Definizione di limite; limite sinistro e destro, per eccesso e per difetto. Teoremi sui limiti.
Asintoti di una funzione. Funzioni elementari: potenze, esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche.
Trasformazioni del grafico di una funzione. Confronti grafici .
Funzioni composte ed inverse; le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche.
Calcolo di limiti; limiti notevoli. Uso del simbolo “~” (asintotico). Infinitesimi ed infiniti; gerarchia degli infiniti.
Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstrass, teorema degli zeri, teorema dei valori intermedi.

5.  CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE.
Retta tangente e sua pendenza, pendenza media e pendenza puntuale di una curva. Definizione di derivata di una funzione in un punto; funzione derivata. Derivate di funzioni elementari. Punti singolari: punti angolosi ed a tangente verticale, cuspidi.
Teorema: la derivabilità di una funzione in un punto implica ivi la continuità .Regole di derivazione. Derivata di funzione composta, derivata di funzione inversa.
La derivata di una funzione continua come limite della sua funzione derivata.
Teorema di de  l’Hospital.
Punti stazionari. Massimi e minimi locali. Teorema di Fermat  . Teorema del valor medio  .
Conseguenze del teorema del valor medio: test di monotonia .Ricerca di massimi e minimi locali e globali. Monotonia ed invertibilità per funzioni derivabili in un intervallo.
Derivate seconde e successive. Funzioni convesse e concave. Punti di flesso. Test della derivata seconda.
Studio di funzione. Problemi di ottimizzazione. Definizione di differenziale ed approssimazione lineare. Polinomi approssimanti di ordine n.

6.  INTEGRALE DEFINITO DI FUNZIONE DI UNA VARIABILE.
Integrale ed area: definizione di integrale definito e significato geometrico. Proprietà dell’integrale. Teorema della media . Il primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Lunghezza di un grafico. Volume di un solido di rotazione attorno ad un asse. Integrali di funzioni discontinue. Calcolo di aree. Integrazione su intervalli illimitati e criteri di integrabilità all’infinito. La funzione integrale. Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale ; formula di calcolo di un integrale definito .

7.VETTORI E MATRICI. SISTEMI LINEARI.
Vettori nel piano e nello spazio. Operazioni fondamentali sui vettori: somma di due vettori e moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Combinazioni lineari di vettori. Dipendenza ed indipendenza lineare tra vettori. Prodotto scalare e vettoriale. Geometria analitica nello spazio: equazione della retta e del piano, condizioni di parallelismo e di ortogonalità.  Definizione di spazio vettoriale . Lo spazio vettoriale Rn. Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Matrici e classificazione delle matrici. Algebra delle matrici: somma e moltiplicazione. Determinante e relativo calcolo: teorema di Laplace. Proprietà del determinante. Significato geometrico del determinante in R2 ed in R3. Relazione tra il determinante e la dipendenza lineare. Matrice inversa. Sistemi lineari. Sistemi determinati, indeterminati ed impossibili. Teorema di Cramer. Definizione di minore e di rango di una matrice. Calcolo del rango con la regola di Kronecker. Teorema di Rouchè – Capelli. Discussione e risoluzione di un sistema lineare. Definizione di trasformazione lineare da Rn a Rm  e teorema di rappresentazione.  Autovalori ed autosoluzioni di una matrice.

8. FUNZIONI DI n VARIABILI.
Insiemi in R2: limitati, aperti, chiusi, connessi. Definizione di funzione reale di n variabili reali.
Funzioni da R2 a R: dominio, curve di livello ed altre sezioni con piani. Funzione continua. Derivate parziali. Significato geometrico di derivata parziale prima per n = 2. Vettore gradiente. Equazione del piano tangente. Derivata direzionale.  Massimi e minimi globali o locali per funzioni di più variabili. Teorema di Weierstrass e degli zeri. Punti stazionari.
Massimi e minimi liberi, condizione necessaria: teorema di Fermat, condizione sufficiente (per funzioni di due variabili).
Funzione implicita e teorema di Dini.
Estremi vincolati per funzioni di due variabili.
Ottimizzazione vincolata: metodo di sostituzione, metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

9. EQUAZIONI DIFFERENZIALI.
Definizione di equazione differenziale e definizione di soluzione.
Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale ed il problema di Cauchy. 
Equazioni a variabili separabili.
Equazioni lineari, del primo ordine, omogenee e non omogenee. Modello di Malthus.
Equazioni lineari del secondo ordine  a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee.

10. INTEGRALE DI LINEA DI PRIMA SPECIE.
Definizione di arco di curva, continuo e regolare.
Lunghezza di un arco di curva.
Definizione di integrale di linea di prima specie.
Significato geometrico dell’integrale di linea, relativamente ad una linea piana.

11. INTEGRALE DOPPIO.
Definizione di integrale doppio e significato geometrico.
Definizione di dominio semplice.
Formula di calcolo di un integrale doppio, definito su un dominio semplice e relativo significato geometrico.

L’esame di Analisi Matematica consiste  in  una  prova  scritta, da svolgersi nelle date d’esame previste dal calendario accademico, integrata, qualora se ne presenti l’opportunità, da una prova orale.

Nella prova scritta è richiesto sia lo svolgimento di esercizi sia la risposta ad alcune domande  di teoria; ad ogni esercizio e domanda è assegnato un punteggio che è comunicato agli Studenti durante la prova scritta.

Per superare l’esame è sufficiente totalizzare 18 punti.
Lo Studente può scegliere di registrare il voto o con l’esito della prova scritta  oppure sostenendo un colloquio con lo scopo di migliorare il risultato.
L’eventuale colloquio dovrà avvenire in una delle date predeterminate, per gli esami orali, nella sessione in cui si è superata la prova scritta.
E’, invece, obbligatorio l’esame orale  per coloro che raggiungono un risultato di quasi sufficienza (15,16,17).

Il Corso, nel suo svolgimento, prevede anche QUATTRO  PROVE  PARZIALI  SCRITTE   in itinere.
Si ottiene l’esonero dalla prova scritta dell’esame se  in ciascuna prova parziale il punteggio conseguito  risulta essere ³ 18.

Anche in questo caso:
è facoltativo sostenere un colloquio con lo scopo di migliorare il risultato.
E’, ancora, obbligatorio l’esame orale per coloro che raggiungono un risultato di quasi sufficienza (15,16,17).