N90200 Analisi Matematica

Alla fine del corso lo studente dovrebbe aver:

1. Sviluppato un linguaggio e un rigore procedurale coerente con l'analisi matematica;
2. Sviluppato capacità di ragionamento logico;
3. Appreso i principali strumenti del calcolo infinitesimale e differenziale, del calcolo integrale, del calcolo matriciale, dello studio delle funzioni di più variabili e delle equazioni differenziali;
4. Compreso le potenzialità e l'utilizzo che le conoscenze apprese possono avere in ingegneria gestionale, o più in generale, in altre discipline.

Gli argomenti del corso saranno trattati con il fine di:

1. Raggiungere il dominio di un linguaggio appropriato;
2. Introdurre ed abituare, con l'opportuno esercizio, alla discussione rigorosa ed al ragionamento analitico;
3. Consentire l'apprendimento dei fondamentali strumenti di calcolo dell'analisi matematica;
4. Favorire la comprensione dell'utilità pratica degli argomenti trattati.

Programma dettagliato:

INSIEMI NUMERICI E NOZIONI DI BASE

Definizione di insieme e sottoinsieme. Operazioni con gli insiemi. Insiemi numerici N, Z, Q, R. Insiemi in R e R^*: nozioni di minorante e maggiorante, di estremo inferiore e superiore, di minimo e di massimo. Ordine e disuguaglianze. Definizione di Campo. Potenze, radicali, esponenziali e logaritmi. Coniche. Sommatorie , calcolo combinatorio, coefficienti binomiali e formula di Newton.

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

Introduzione: Relazioni tra insiemi. Funzione: definizione, dominio, immagine, grafico. Grafico delle funzioni elementari. Funzioni additive, omogenee, lineari, lineari affine, polinomiali, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche. Operazioni elementari sui grafici. Simmetrie di grafici. Funzioni pari e dispari. Funzioni monotone. Funzioni concave e convesse. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Funzioni invertibili e loro inverse. Grafico della funzione inversa. Funzione composta. Equazioni e disequazioni.

Successioni: Definizione di successione. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Unicità del limite. Algebra dei limiti. Permanenza del segno. Successioni monotone. Esistenza del limite di successioni monotone. Criterio del confronto, del rapporto, limiti notevoli.

Limiti e continuità di funzioni: definizione successionale. Limite destro e sinistro, per eccesso e per difetto. Principali proprietà: unicità del limite, permanenza del segno algebra dei limiti(*), teorema del confronto, limiti notevoli. Continuità. Classificazione delle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue; teorema degli zeri, teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Applicazioni.

Calcolo differenziale: definizione di derivata, regole fondamentali di derivazione(*), derivate delle funzioni elementari, elasticità. Teorema: la derivabilità di una funzione in un punto implica ivi la continuità(*). Derivate di ordine superiore al primo. Teoremi sulle funzioni derivabili: Teorema di Fermat(*), Teorema del valore medio e test di monotonia(*). Classificazione dei punti stazionari. Funzioni convesse. Applicazioni a problemi di ottimizzazione (ricerca di massimi e minimi). Studio di funzioni. Ordini di grandezza (asintotico, o piccolo), Teorema di de l'Hopital(*). Formula di Taylor: resto secondo Peano, resto secondo Lagrange . Applicazioni della formula di Taylor: calcolo di limiti, approssimazione. Serie di Taylor. Applicazioni.

Calcolo integrale: Primitiva e integrale indefinito. Primitive di funzioni elementari. Metodi di integrazione (integrazione indefinita): per scomposizione, per parti, per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali. Integrazione funzioni trigonometriche. Integrazione funzioni irrazionali. Costruzione dell'integrale definito. Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale(*), Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Integrali di funzioni discontinue (applicazioni al calcolo della probabilità e statistica). Integrali generalizzati, definizione e criteri di convergenza. Funzioni integrali. Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale(*).

SERIE NUMERICHE

Serie numeriche, definizione. Serie notevoli. Serie a termini positivi. Criteri di convergenza: confronto, confronto asintotico, radice, rapporto, integrale. Serie a termini di segno qualunque. Convergenza semplice e convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.

NUMERI COMPLESSI

Rappresentazione algebrica, modulo, coniugato, piano di Gauss, rappresentazione trigonometrica e esponenziale, formula di de Moivre, radice n-esima, risoluzione di equazioni, sottoinsiemi del piano di Gauss definiti da disuguaglianze.

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Vettori e calcolo vettoriale in Rⁿ: prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Combinazioni lineari e vettori linearmente (in)dipendenti. Spazi e sottospazi vettoriali: generatori e basi. Elementi di algebra nel piano e nello spazio: rette nel piano, rette e piani nello spazio (equazioni parametriche e cartesiane), mutue posizioni, distanze e angoli. Matrici e calcolo matriciale: somma e moltiplicazione tra matrici. Matrici quadrate, matrice identità, matrice diagonale, matrice triangolare superiore e inferiore, matrice simmetrica, matrice trasposta. Determinate e interpretazione geometrica. Teorema di Laplace, regola di Sarrus e proprietà del determinante. Complemento algebrico, minore e rango di una matrice. Matrice dei complementi algebrici e matrice inversa. Teorema della matrice inversa(*) e regola di Kronecker per il calcolo del rango. Sistemi di Cramer, regola di Cramer(*) e metodo di Gauss. Sistemi omogenei, proprietà e risoluzione. Sistemi non omogenei: determinati, indeterminati e impossibili.  Teorema di Rouché-Capelli. Discussione dei sistemi e ricerca delle soluzioni. Trasformazioni lineari da Rn a Rm: teorema di rappresentazione (per basi canoniche), immagine, nucleo, relative proprietà. Trasformazioni suriettive, iniettive e biiettive. Matrici di cambio di base. Calcolo autovalori e autovettori.

FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI REALI

Insiemi in Rⁿ: limitati, aperti, chiusi, connessi. Definizione di funzione di n variabili reali. Limiti, continuità, derivabilità, differenziabilità. Vettore gradiente. Derivata direzionale. Matrice Hessiana. Formula di Taylor. Funzioni implicite e Teorema di Dini.

OTTIMIZZAZIONE LIBERA E VINCOLATA

Massimi e minimi globali o locali per funzioni di più variabili. Teorema di Weierstrass e degli zeri. Forme quadratiche. Estremi liberi, condizione necessaria (Teorema di Fermat), condizione sufficiente (per funzioni di due variabili). Estremi vincolati: metodo di sostituzione, metodo dei moltiplicatori di Lagrange, metodo delle curve di livello.

INTEGRALI CURVILINEI

Definizione di arco di curva, continuo e regolare. Definizione di integrale di linea di prima specie. Significato geometrico dell’integrale di linea, relativamente ad una figura piana.

INTEGRALI MULTIPLI

Integrali doppi e tripli su domini semplici e per funzioni continue. Trasformazioni di coordinate. Formula di Green. Applicazioni.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Definizione di equazione differenziale e definizione di soluzione. Equazioni differenziali del primo ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari. Problema di Cauchy. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti e non, omogenee e non omogenee. Equazioni differenziali lineari di grado n, omogenee e non omogenee. Le equazioni di Bernoulli e di Riccati. Applicazioni.

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(*) Con dimostrazione.

Mediante prova generale:

Al termine del corso annuale saranno organizzate prove d’esame della durata di due ore e mezzo, composte di otto quesiti. Tali quesiti comprendono domande teoriche ed esercizi di calcolo e sono sviluppati in modo tale da testare le conoscenze dei fondamentali strumenti di calcolo dell'analisi matematica, le capacità di ragionamento analitico, il rigore matematico nell'esposizione degli argomenti e la consapevolezza delle potenzialità pratiche degli argomenti trattati. Ad ogni quesito è assegnato un punteggio massimo corrispondente alla corretta risoluzione dello stesso. Il totale dei punti assegnati è 33. La somma dei punti ottenuti costituirà il voto finale. Punteggi superiori a trenta conferiscono la lode.

Mediante prove parziali:

Il corso, nel suo svolgimento, prevede anche due prove parziali scritte in itinere e due test di verifica. Ogni prova parziale è superata conseguendo un punteggio minimo di 18 punti su 33. I due test di verifica danno diritto a un numero massimo di 3 punti che saranno aggiunti al voto finale delle prove parziali. La media dei punteggi ottenuti nelle due prove parziali, se superate, costituirà il voto finale. Punteggi superiori a trenta conferiscono la lode. E' possibile sostenere la seconda prova parziale indipendentemente dall'esito della prima. Solo entro la sessione estiva è possibile il recupero delle prove parziali. Lo studente che non ha superato tutte le prove parziali entro la sessione estiva deve sostenere l'esame totale. Ai fini del voto, comunque, sarà considerato solo l’ultimo voto cronologicamente assegnato.