Guida dello studente della Facoltà di Ingegneria A.A. 2009/10

Il corso curerà la presentazione dei classici strumenti: del calcolo infinitesimale, differenziale e del calcolo integrale per funzioni di una e due variabili ed inoltre della geometria e dell’algebra lineare,

proponendo, ove possibile, l'utilizzo che ne potrà essere fatto in altre discipline.

Tali argomenti saranno trattati con il fine di:

- conseguire una capacità di analisi: introdurre ed abituare, cioè, alla discussione rigorosa ed

   al ragionamento analitico;
- raggiungere, con l'opportuno esercizio, il dominio di un linguaggio appropriato, essenziale;
- prepararsi, con l'applicazione degli strumenti di calcolo, a gestire meglio l'uso dei metodi

   quantitativi. 

 

 Si richiede la conoscenza dei seguenti argomenti:

- aritmetica ed algebra;

- geometria analitica e trigonometria nel piano;

- funzioni: in particolare conoscere la definizione, il grafico e le principali proprietà delle funzioni fondamentali ( potenze, esponenziali, logaritmiche, seno, coseno, tangente). Sapere, inoltre, risolvere equazioni e disequazioni algebriche, esponenziali, logaritmiche,trigonometriche.

1. Insiemi numerici.
- Insiemi e simboli della logica.
- Insiemi numerici e loro struttura algebrica e topologica (numeri naturali, interi, razionali, reali).
- Sottoinsiemi dei numeri reali: concetto di maggiorante e minorante, estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo.

- Numeri complessi.

- Corrispondenze e funzioni tra insiemi.

2. Successione e serie.
- Definizione di successione e calcolo dei limiti.
- Serie numeriche e loro caratteristiche.
- Serie geometrica.
- Serie armonica e serie armonica generalizzata.
- Serie a termini di segno variabile. Convergenza assoluta e criterio di Leibniz.

- Serie di potenze.

3. Funzione reale di una variabile reale.

-          Definizione di funzione univoca di una variabile reale

- Funzioni simmetriche, crescenti e decrescenti, periodiche, limitate.
- Massimo e minimo di una funzione.
- Il concetto di funzione composta ed inversa.
- Limiti delle funzioni.
- Continuità.
- Derivata e differenziale.

- Elasticità
- Regole del calcolo differenziale.
- Ricerca dei massimi e minimi locali e globali.
- Derivate di ordine superiore.
- Funzioni convesse e concave.
- Studio di funzione.
- Formula di Taylor - Mac Laurin .

4. Integrali.

- La nozione di primitiva e l'integrale indefinito.

- Regole d’ integrazione: per scomposizione, per parti, per sostituzione.

- Integrale definito.

- Applicazioni geometriche.
- Funzione integrale.
- Integrali generalizzati.

5.Elementi di geometria ed algebra lineare.

- Vettori nel piano e nello spazio. Prodotto scalare e vettoriale.

- Vettori n –dimensionali: lo spazio Rⁿ. Spazio vettoriale.

- Dipendenza ed indipendenza lineare, base e dimensione.

- Prodotto scalare in Rⁿ.

- Rette e piani nello spazio tridimensionale.

- Matrici e calcolo matriciale.
- Determinante.
- Matrice inversa.

- Caratteristica di una matrice.
- Sistemi lineari.
- Teorema di Cramer.

- Teorema di Rouchè-Capelli.

- Trasformazione lineare e teorema di rappresentazione.

- Autovalori ed autovettori. Diagonalizzazione di una matrice.

 

6. Funzioni reali di due o più variabili reali.
- Funzioni in R²: dominio , curve di livello .
- Continuità. Derivate parziali, vettore gradiente,  piano tangente e differenziabilità.

- Derivate direzionali.

- Funzioni definite implicitamente.
- Ottimizzazione libera e vincolata delle funzioni di due variabili.

7. Equazioni differenziali.

- Equazioni a variabili separabili.
- Equazioni lineari di primo e secondo ordine.
- Equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee.

- Equazioni di Eulero.

 

8. Integrale di linea ed integrale doppio.

- Curve regolari ed integrali di linea in R² e in R³.

        - Definizione di integrale doppio. Significato geometrico.
        - Calcolo dell'integrale doppio utilizzando coordinate cartesiane e polari.

        -Formula di Gauss-Green nel piano.

L’esame consiste in una prova scritta,  da svolgersi nelle date d’esame previste dal calendario accademico, integrata, qualora se ne presenti l’opportunità, da una prova orale.

Durante lo svolgimento del corso sono previste anche quattro prove parziali scritte.

Si ottiene l’esonero dalla prova scritta dell’esame se in ciascuna delle quattro prove parziali scritte si riporta una votazione uguale o maggiore a diciotto.

Bramanti M., Pagani C.D., Salsa S., Matematica, Zanichelli.

Salsa S., Squellati A., Esercizi di Matematica, volumi: 1^o 2^o, Zanichelli.

Raccolta di appunti ed esercizi a cura della docente.